Hallo,

Ich habe ein kleines Problem mit einer Aufgabe.
An sich ist die Aufgabe einfach. Sie lautet:

Leite ab und vereinfache.
f(x)=3x² * (1/4*x+1)^4

mit dem Ableiten hab ich auch keine Probleme
nur mit dem Vereinfachen bewege ich mich im Kreis:

Zum leichter Nachvollziehen hier alle Ableitungen:
u=3x² => u'=6x
v=(1/4*x+1)^4 => v'= (1/4*x+1)^3
nach (u·v)'=u'·v+u·v' folgt:

f'(x)=6x(1/4*x+1)^4+3x²(1/4*x+1)^3
nun wie vereinfachen? ...
Idee: 3x(1/4*x+1)^3 ausklammern:
f'(x)=3x(3/2*x+2)·(1/4*x+1)^3
bzw. f'(x)=6x(3/4*x+1)·(1/4*x+1)^3
wenn man der Schönheit wegen den Faktor
vor dem x in den ersten Klammern noch auf
Viertel bringen möchte. - Ist das schon alles??
Ist dies das Endergebnis oder lässt sich da
noch was machen?
Irgendwie hab ich das Gefühl, die gesuchte
Vereinfachung läge möglicherweise in dem
geschickten Zussammenfassen zu etwas wie
f'(x)=(ax+b)*(1/4x+1)^4 + C.
Ich hab mir schon den ganzen Nachmittag
'nen Wolf gerechnet, doch was ich auch
versucht habe, ich komm einfach nicht
weiter und dreh mich beim Rechnen im
Kreis und komme immer wieder zurück
auf die Ausgangsgleichung :
f'(x)=6x(1/4*x+1)^4+3x²(1/4*x+1)^3

Wo liegt hier der Kniff?
Ist f'(x)=3x(3/2*x+2)·(1/4*x+1)^3
bzw. f'(x)=6x(3/4*x+1)·(1/4*x+1)^3
wirklich soviel einfacher als
f'(x)=6x(1/4*x+1)^4+3x²(1/4*x+1)^3 ,
oder gibt's da irgendwo einen Trick, was man
zum Vereinfachen da noch machen kann?

Gruß
Simon

--
"Bildung ist der lustvolle Umgang
mit Phänomenen des Geistes."
Peter Sloterdijk, Philosoph

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Thu, 18 Nov 2004 00:48:30 +0100

Am Wed, 17 Nov 2004 19:47:00 +0100 schrieb Simon Steinberger:

> Hallo,
>
> Ich habe ein kleines Problem mit einer Aufgabe.
> An sich ist die Aufgabe einfach. Sie lautet:
>
> Leite ab und vereinfache.
> f(x)=3x² * (1/4*x+1)^4

macht:
6x((1/4)x+1)^4+3x²((1/4)x+1)^3

noch einfacher geht kaum oder mein Computer hat geschummelt :-)

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen

From:	Simon Steinberger
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Thu, 18 Nov 2004 21:46:32 +0100

"Peter Niessen" schrieb:
> Am Wed, 17 Nov 2004 19:47:00 +0100 schrieb Simon Steinberger:
>
> > Hallo,
> >
> > Ich habe ein kleines Problem mit einer Aufgabe.
> > An sich ist die Aufgabe einfach. Sie lautet:
> >
> > Leite ab und vereinfache.
> > f(x)=3x² * (1/4*x+1)^4
>
> macht:
> 6x((1/4)x+1)^4+3x²((1/4)x+1)^3
>
Na wenn's weiter nichts ist ...
das hab ich ja auch raus.

Gruß & Danke
Simon

--
Es gibt 10 Arten von Menschen:
Die, die Binärzahlen verstehen, und
die, die nicht damit umgehen können.

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Thu, 18 Nov 2004 22:03:36 +0100

Am Thu, 18 Nov 2004 21:46:32 +0100 schrieb Simon Steinberger:

> "Peter Niessen" schrieb:
>> Am Wed, 17 Nov 2004 19:47:00 +0100 schrieb Simon Steinberger:
>>
>>> Hallo,
>>>
>>> Ich habe ein kleines Problem mit einer Aufgabe.
>>> An sich ist die Aufgabe einfach. Sie lautet:
>>>
>>> Leite ab und vereinfache.
>>> f(x)=3x² * (1/4*x+1)^4
>>
>> macht:
>> 6x((1/4)x+1)^4+3x²((1/4)x+1)^3
>>
> Na wenn's weiter nichts ist ...
> das hab ich ja auch raus.

Da bin ich aber glücklich das Mupad sich nicht vertan hat :-)
Ansonsten: Mupad ist der ultimative Tipp für Schüler!

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen

--
|
-*_O- Cunning Pike With Black Eye

From:	Daniel Gutekunst
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Sun, 21 Nov 2004 00:46:12 +0100

Simon Steinberger wrote:

> Leite ab und vereinfache.
> f(x)=3x² * (1/4*x+1)^4

f'(x) = 3/128 x (3x + 4) (x + 4)^3

MfG
Daniel Gutekunst

From:	Simon Steinberger
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Mon, 22 Nov 2004 17:54:33 +0100

"Daniel Gutekunst" schrieb
> Simon Steinberger wrote:
>
> > Leite ab und vereinfache.
> > f(x)=3x² * (1/4*x+1)^4
>
> f'(x) = 3/128 x (3x + 4) (x + 4)^3
>
Ja so sieht das viel schöner aus,
als wenn man auf halbem Wege bei
f'(x)=3x(3/2*x+2)(1/4*x+1)^3
bzw. f'(x)=6x(3/4*x+1)(1/4*x+1)^3
schon schlappmacht. ;-)

> MfG
> Daniel Gutekunst

Danke
Simon

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Mon, 22 Nov 2004 18:21:02 +0100

Am Mon, 22 Nov 2004 17:54:33 +0100 schrieb Simon Steinberger:

> "Daniel Gutekunst" schrieb
>> Simon Steinberger wrote:
>>
>>> Leite ab und vereinfache.
>>> f(x)=3x² * (1/4*x+1)^4
>>
>> f'(x) = 3/128 x (3x + 4) (x + 4)^3
>>
> Ja so sieht das viel schöner aus,
> als wenn man auf halbem Wege bei
> f'(x)=3x(3/2*x+2)(1/4*x+1)^3
> bzw. f'(x)=6x(3/4*x+1)(1/4*x+1)^3
> schon schlappmacht. ;-)
>
>> MfG
>> Daniel Gutekunst

Dann könntest Du ja noch einen Schritt weitergehen:
Daniel hat es ja schon fast gemacht.
Zerlege das Ding komplett in Linearfaktoren.

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
--
____ ____
| @ @| "Oh, I think we need a neue Flasche" |o|o |
X| _|_|X X|_|_ |X
[##V#] MIST |_|__|

From:	Simon Steinberger
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Mon, 22 Nov 2004 22:16:28 +0100

"Peter Niessen" schrieb
> Am Mon, 22 Nov 2004 17:54:33 +0100 schrieb Simon Steinberger:
>> "Daniel Gutekunst" schrieb
>>> Simon Steinberger wrote:
>>>
>>>> Leite ab und vereinfache.
>>>> f(x)=3x² * (1/4*x+1)^4
>>>
>>> f'(x) = 3/128 x (3x + 4) (x + 4)^3
>>
> Zerlege das Ding komplett in Linearfaktoren.

Da komm ich jetzt nicht ganz mit, denn
"ein Linearfaktor ist ein Term, in dem die
Funktionsvariable x nur in einfacher Potenz
vorkommt, also vom Grad 1. Allgemein: a*x+b"
Wie soll ich hier was weiter in _Linearfaktoren_
zerlegen? Die Funktionsvarable x ist doch bereits
in allen Faktoren nur in erster Potenz vorhanden.
Linearer geht's doch wohl nicht?

Gruß Simon

--
Eine mathematische Wahrheit ist an sich
weder einfach noch kompliziert, sie ist.
(Émile Lemoine)

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Mon, 22 Nov 2004 22:40:44 +0100

Am Mon, 22 Nov 2004 22:16:28 +0100 schrieb Simon Steinberger:

> "Peter Niessen" schrieb
>> Am Mon, 22 Nov 2004 17:54:33 +0100 schrieb Simon Steinberger:
>>> "Daniel Gutekunst" schrieb
>>>> Simon Steinberger wrote:
>>>>
>>>>> Leite ab und vereinfache.
>>>>> f(x)=3x² * (1/4*x+1)^4
>>>>
>>>> f'(x) = 3/128 x (3x + 4) (x + 4)^3
>>>
>> Zerlege das Ding komplett in Linearfaktoren.
>
> Da komm ich jetzt nicht ganz mit, denn
> "ein Linearfaktor ist ein Term, in dem die
> Funktionsvariable x nur in einfacher Potenz
> vorkommt, also vom Grad 1. Allgemein: a*x+b"
> Wie soll ich hier was weiter in _Linearfaktoren_
> zerlegen? Die Funktionsvarable x ist doch bereits
> in allen Faktoren nur in erster Potenz vorhanden.
> Linearer geht's doch wohl nicht?

Nicht so ganz :-)
Multiplizere den ganzen Kram mal aus!
Was macht das? Ein Polynom!
Und genau das kannst Du als Produkt(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)(x+e)...
(Das sind Linearfaktoren!)schreiben!
Nennt sich Fundamentalsatz der Algebra. Heisst das geht immer!
Wenn du nun nicht weisst wie man die Faktoren findet:
Antwort gebe ich gerne.
Die meisten Faktoren "sieht" man bei der Aufgabe eigentlich sofort :-)

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
--
###### "Warum musste ich überhaupt diese ____
##o#o# blöde Maske tragen?" |o|o |
X######X MIST X|_|_ |X
|__|_| >Weil's cool aussieht!< |_|__|

From:	Simon Steinberger
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Mon, 22 Nov 2004 23:14:58 +0100

"Peter Niessen" schrieb im Newsbeitrag
news:1fftk5hpbk6u3$.15ne1wxtdtd7p$.dlg@40tude.net...
> Am Mon, 22 Nov 2004 22:16:28 +0100 schrieb Simon Steinberger:
>
> > "Peter Niessen" schrieb
> >> Am Mon, 22 Nov 2004 17:54:33 +0100 schrieb Simon Steinberger:
> >>> "Daniel Gutekunst" schrieb
> >>>> Simon Steinberger wrote:
> >>>>
> >>>>> Leite ab und vereinfache.
> >>>>> f(x)=3x² * (1/4*x+1)^4
> >>>>
> >>>> f'(x) = 3/128 x (3x + 4) (x + 4)^3
> >>>
> >> Zerlege das Ding komplett in Linearfaktoren.
> >
> > Da komm ich jetzt nicht ganz mit, denn
> > "ein Linearfaktor ist ein Term, in dem die
> > Funktionsvariable x nur in einfacher Potenz
> > vorkommt, also vom Grad 1. Allgemein: a*x+b"
> > Wie soll ich hier was weiter in _Linearfaktoren_
> > zerlegen? Die Funktionsvarable x ist doch bereits
> > in allen Faktoren nur in erster Potenz vorhanden.
> > Linearer geht's doch wohl nicht?
>
> Nicht so ganz :-)
> Multiplizere den ganzen Kram mal aus!
> Was macht das?

das macht f'(x)= 3/128 x (3x^4+40x^3+194x^2+384x+256)
und mir ist immer noch nicht logisch klar, wie man diese
Klammer nun in andere Faktoren als das Produkt aus
(3x + 4)·(x + 4)·(x + 4)·(x + 4) aufspalten können soll,
denn die Zerlegung eines Produktes in (Prim)Faktoren
ist doch (bis auf die Reihenfolge natürlich) eindeutig.

Mach mich mal schlauer...

> Die meisten Faktoren "sieht" man bei der Aufgabe eigentlich sofort :-)
Ja, (x+4), ne?

Gruß Simon

--
"Bin schon da", sprach der Hase zum Igel!
Mein Name ist Igel, ich weiß nix.

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Mon, 22 Nov 2004 23:38:11 +0100

Am Mon, 22 Nov 2004 23:14:58 +0100 schrieb Simon Steinberger:

> "Peter Niessen" schrieb im Newsbeitrag
> news:1fftk5hpbk6u3$.15ne1wxtdtd7p$.dlg@40tude.net...
>> Am Mon, 22 Nov 2004 22:16:28 +0100 schrieb Simon Steinberger:
>>
>>> "Peter Niessen" schrieb
>>>> Am Mon, 22 Nov 2004 17:54:33 +0100 schrieb Simon Steinberger:
>>>>> "Daniel Gutekunst" schrieb
>>>>>> Simon Steinberger wrote:
>>>>>>
>>>>>>> Leite ab und vereinfache.
>>>>>>> f(x)=3x² * (1/4*x+1)^4
>>>>>>
>>>>>> f'(x) = 3/128 x (3x + 4) (x + 4)^3
>>>>>
>>>> Zerlege das Ding komplett in Linearfaktoren.
>>>
>>> Da komm ich jetzt nicht ganz mit, denn
>>> "ein Linearfaktor ist ein Term, in dem die
>>> Funktionsvariable x nur in einfacher Potenz
>>> vorkommt, also vom Grad 1. Allgemein: a*x+b"
>>> Wie soll ich hier was weiter in _Linearfaktoren_
>>> zerlegen? Die Funktionsvarable x ist doch bereits
>>> in allen Faktoren nur in erster Potenz vorhanden.
>>> Linearer geht's doch wohl nicht?
>>
>> Nicht so ganz :-)
>> Multiplizere den ganzen Kram mal aus!
>> Was macht das?
>
> das macht f'(x)= 3/128 x (3x^4+40x^3+194x^2+384x+256)

Nö! Wenn schon gründlich! der Faktor 3/128x muss auch eingerechnet werden!

> und mir ist immer noch nicht logisch klar, wie man diese
> Klammer nun in andere Faktoren als das Produkt aus
> (3x + 4)·(x + 4)·(x + 4)·(x + 4) aufspalten können soll,
> denn die Zerlegung eines Produktes in (Prim)Faktoren
> ist doch (bis auf die Reihenfolge natürlich) eindeutig.
>
> Mach mich mal schlauer...
>
>> Die meisten Faktoren "sieht" man bei der Aufgabe eigentlich sofort :-)
> Ja, (x+4), ne?

Ja doch!
Der Faktor (x+4) kommt ja wie die Gleichung sagt dreimal vor.
Aber:
3/128 x (3x + 4) das macht:
(9/128 x^2 + 3/32 x)
Das kannst Du genauso zerlegen, und dann bist du fertig!
Hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet :-)

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen

--
_p_p q_q_
| _|_| "Ich hab keine Ahnung. |_|_ |
X| | |X Ich will es nicht! X| | |X
|_o|o| Mach, dass es aufhört!" MIST |o|o_|

From:	Simon Steinberger
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Tue, 23 Nov 2004 00:17:02 +0100

"Peter Niessen" schrieb im
> Am Mon, 22 Nov 2004 23:14:58 +0100 schrieb Simon Steinberger:
> > "Peter Niessen" schrieb im Newsbeitrag
> >> Am Mon, 22 Nov 2004 22:16:28 +0100 schrieb Simon Steinberger:
> >>> "Peter Niessen" schrieb
> >>>> Am Mon, 22 Nov 2004 17:54:33 +0100 schrieb Simon Steinberger:
> >>>>> "Daniel Gutekunst" schrieb
> >>>>>> Simon Steinberger wrote:
> >>>>>>
> >>>>>>> Leite ab und vereinfache.
> >>>>>>> f(x)=3x² * (1/4*x+1)^4
> >>>>>>
> >>>>>> f'(x) = 3/128 x (3x + 4) (x + 4)^3
> >>>>>
> >>>> Zerlege das Ding komplett in Linearfaktoren.
[...]
>
> 3/128 x (3x + 4) das macht:
> (9/128 x^2 + 3/32 x)
> Das kannst Du genauso zerlegen, und dann bist du fertig!
> Hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet :-)

Ja, aber da zieh' ich doch lieber gleich den Faktor 3
vor die Klammer und das macht 9/128 x (x+4/3).
Da brauch ich keine quadr. Gleichung lösen oder sonstwas
machen und erhalte nämlich ganz genau das gleiche Ergebnis.
Ich hab gegenüber f'(x)=3/128 x (3x + 4) (x + 4)^3 ja dann
kaum was verändert; ausser, dass nun kein Faktor mehr vor
dem x in der Klammer steht, dafür jetzt aber 4/3 wieder
als "unschöner" Bruch innerhalb der Klammer auftaucht.
f'(x)=9/128 x (x + 4/3) (x + 4)^3

Das war jetzt aber kein Geheimnis. ;-)

Mir erscheint jedoch f'(x) = 3/128 x (3x + 4) (x + 4)^3 als
am einfachsten, da hier nur ein einziger Bruch vorkommt und
alle weiteren Zahlen im Bereich der natürlichen Zahlen liegen.

Gruß
Simon

--
Ein Wiesel saß auf einem Kiesel inmitten Bachgeriesel.
Wißt ihr weshalb? - Das Mondkalb verriet es mir im Stillen.
Das raffieneirte Tier tat's um des Reimes willen.
(Christian Morgenstern)

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Tue, 23 Nov 2004 00:37:46 +0100

Am Tue, 23 Nov 2004 00:17:02 +0100 schrieb Simon Steinberger:

> "Peter Niessen" schrieb im
>> Am Mon, 22 Nov 2004 23:14:58 +0100 schrieb Simon Steinberger:
>>> "Peter Niessen" schrieb im Newsbeitrag
>>>> Am Mon, 22 Nov 2004 22:16:28 +0100 schrieb Simon Steinberger:
>>>>> "Peter Niessen" schrieb
>>>>>> Am Mon, 22 Nov 2004 17:54:33 +0100 schrieb Simon Steinberger:
>>>>>>> "Daniel Gutekunst" schrieb
>>>>>>>> Simon Steinberger wrote:
>>>>>>>>
>>>>>>>>> Leite ab und vereinfache.
>>>>>>>>> f(x)=3x² * (1/4*x+1)^4
>>>>>>>>
>>>>>>>> f'(x) = 3/128 x (3x + 4) (x + 4)^3
>>>>>>>
>>>>>> Zerlege das Ding komplett in Linearfaktoren.
> [...]
>>
>> 3/128 x (3x + 4) das macht:
>> (9/128 x^2 + 3/32 x)
>> Das kannst Du genauso zerlegen, und dann bist du fertig!
>> Hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet :-)
>
> Ja, aber da zieh' ich doch lieber gleich den Faktor 3
> vor die Klammer und das macht 9/128 x (x+4/3).
> Da brauch ich keine quadr. Gleichung lösen oder sonstwas
> machen und erhalte nämlich ganz genau das gleiche Ergebnis.
> Ich hab gegenüber f'(x)=3/128 x (3x + 4) (x + 4)^3 ja dann
> kaum was verändert; ausser, dass nun kein Faktor mehr vor
> dem x in der Klammer steht, dafür jetzt aber 4/3 wieder
> als "unschöner" Bruch innerhalb der Klammer auftaucht.
> f'(x)=9/128 x (x + 4/3) (x + 4)^3
>
> Das war jetzt aber kein Geheimnis. ;-)
>
> Mir erscheint jedoch f'(x) = 3/128 x (3x + 4) (x + 4)^3 als
> am einfachsten, da hier nur ein einziger Bruch vorkommt und
> alle weiteren Zahlen im Bereich der natürlichen Zahlen liegen.

Was "einfach" ist, entscheidet ja zu guter letzt dein Lehrer.
Ich gebe auch gerne zu, das ich mir normalerweise nie die Mühe mache sowas
irgendwie "einfach" zu machen. Gleichung stimmt => Gut ist!
Aber wenn man Schüler ist:
Dann ist sowas halt eine sportliche Aufgabe :-)

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen

From:	Simon Steinberger
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Tue, 23 Nov 2004 17:40:03 +0100

"Peter Niessen" schrieb
> Am Tue, 23 Nov 2004 00:17:02 +0100 schrieb Simon Steinberger:
> > "Peter Niessen" schrieb im
> >> Am Mon, 22 Nov 2004 23:14:58 +0100 schrieb Simon Steinberger:
> >>> "Peter Niessen" schrieb
> >>>> Am Mon, 22 Nov 2004 22:16:28 +0100 schrieb Simon Steinberger:
> >>>>> "Peter Niessen" schrieb
> >>>>>> Am Mon, 22 Nov 2004 17:54:33 +0100 schrieb Simon Steinberger:
> >>>>>>> "Daniel Gutekunst" schrieb
> >>>>>>>> Simon Steinberger wrote:
> >>>>>>>>
> >>>>>>>>> Leite ab und vereinfache.
> >>>>>>>>> f(x)=3x² * (1/4*x+1)^4
> >>>>>>>>>
> >>>>>>>>> (1) f'(x)= 6x (1/4 x + 1)^4 + 3x² (1/4 x + 1)^3
> >>>>>>>>>
> >>>>>>>> (2) f'(x) = 3/128 x (3x + 4) (x + 4)^3
> >
> > Mir erscheint jedoch f'(x) = 3/128 x (3x + 4) (x + 4)^3 als
> > am einfachsten, da hier nur ein einziger Bruch vorkommt und
> > alle weiteren Zahlen im Bereich der natürlichen Zahlen liegen.
>
> Was "einfach" ist, entscheidet ja zu guter letzt dein Lehrer.
> Ich gebe auch gerne zu, das ich mir normalerweise nie die Mühe mache
> sowas irgendwie "einfach" zu machen. Gleichung stimmt => Gut ist!

Ja, aber mittlerweile kann ich dir sagen, warum
(2) einfacher ist als (1).

Sag mir mal ohne zu rechnen !nur hinschauen! eine Nullstelle
von Gleichung (1). Na, da tut man sich schwer, um nicht zu sagen:
Es ist in dieser Form unmöglich, ohne zu rechnen eine Nullstelle
anzugeben.
Und eine erste Ableitung - na was macht man denn da am häufigsten damit.
Man hätte eben gerne die Nullstellen gewußt, nicht?
Und nun mal mit Gl. (2); ne Nullstelle so ganz spontan auf die Schnelle.
Nur mal kurz anschauen und man kann sofort sogar zwei Nullstellen
nennen: x01=0 und x02=-4.
Undnun vielleicht nochmal kurz im Kopf gerechnet: x03=-4/3

Außerdem: wie ich bereits schrieb, weil
>>>>> hier nur ein einziger Bruch vorkommt und
>>>>> alle weiteren Zahlen im Bereich der natürlichen Zahlen liegen

Gruß & Vielen Dank.
Das richtige Ergebnis haben wir ja.
Simon

--
Ein Kuh macht Muh.
Viele Kühe machen Mühe.

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Tue, 23 Nov 2004 21:03:09 +0100

Am Tue, 23 Nov 2004 17:40:03 +0100 schrieb Simon Steinberger:

> Ja, aber mittlerweile kann ich dir sagen, warum
> (2) einfacher ist als (1).
>
> Sag mir mal ohne zu rechnen !nur hinschauen! eine Nullstelle
> von Gleichung (1). Na, da tut man sich schwer, um nicht zu sagen:
> Es ist in dieser Form unmöglich, ohne zu rechnen eine Nullstelle
> anzugeben.
> Und eine erste Ableitung - na was macht man denn da am häufigsten damit.
> Man hätte eben gerne die Nullstellen gewußt, nicht?
> Und nun mal mit Gl. (2); ne Nullstelle so ganz spontan auf die Schnelle.
> Nur mal kurz anschauen und man kann sofort sogar zwei Nullstellen
> nennen: x01=0 und x02=-4.
> Undnun vielleicht nochmal kurz im Kopf gerechnet: x03=-4/3
>
> Außerdem: wie ich bereits schrieb, weil
>>>>>> hier nur ein einziger Bruch vorkommt und
>>>>>> alle weiteren Zahlen im Bereich der natürlichen Zahlen liegen
>
> Gruß & Vielen Dank.
> Das richtige Ergebnis haben wir ja.

Du hast in meinen Augen ja auch Recht!
Einfach => So kurz (simpel) wie möglich aufschreiben.
Trivial => In Linearfaktoren zerlegen
Wo bei das Zerlegen ohne Kenntniss der komplexen Zahlen überhaupt nicht
trivial ist. Keine Ahnung ob Du das schon kannst.

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen

--
V
-*_*- Punk Pike

From:	Torsten Metzner
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Wed, 24 Nov 2004 10:54:58 +0000 (UTC)

Peter Niessen wrote:
>Du hast in meinen Augen ja auch Recht!
>Einfach => So kurz (simpel) wie möglich aufschreiben.
>Trivial => In Linearfaktoren zerlegen
>Wo bei das Zerlegen ohne Kenntniss der komplexen Zahlen überhaupt nicht
>trivial ist. Keine Ahnung ob Du das schon kannst.

Hmm, kann es sein, dass Du selbst nicht so richtig weißt, was Du hier
sagst? Das Zerlegen ist auch mit Kenntnis der komplexen Zahlen
überhaupt nicht trivial, man weiß nur, dass jedes Polynom über den
komplexen Zahlen in Linearfaktoren zerfällt. Diese zu finden ist aber
eine ganz andere Sache und spätestens ab dem Grad 5 (Galoistheorie läßt
grüßen) (*) nicht mehr so trivial. Aber vielleicht hast Du das ja auch
garnicht gemeint, sondern wolltest nur auf die Existenz der Zerlegung
hinaus. Wie sehen z.b. die Nullstellen von x^5 - x + 1 = 0 aus? :-)
Ach ja wir reden hier nicht über das numerische Finden von Nullstellen.

(*) Falls es Dich interessiert, so findest Du dies unter dem Satz von
Abel und Ruffini in der Literatur.

Gruß,
ToM

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Wed, 24 Nov 2004 21:34:40 +0100

Am Wed, 24 Nov 2004 10:54:58 +0000 (UTC) schrieb Torsten Metzner:

> Peter Niessen wrote:
>>Du hast in meinen Augen ja auch Recht!
>>Einfach => So kurz (simpel) wie möglich aufschreiben.
>>Trivial => In Linearfaktoren zerlegen
>>Wo bei das Zerlegen ohne Kenntniss der komplexen Zahlen überhaupt nicht
>>trivial ist. Keine Ahnung ob Du das schon kannst.
>
> Hmm, kann es sein, dass Du selbst nicht so richtig weißt, was Du hier
> sagst? Das Zerlegen ist auch mit Kenntnis der komplexen Zahlen
> überhaupt nicht trivial, man weiß nur, dass jedes Polynom über den
> komplexen Zahlen in Linearfaktoren zerfällt. Diese zu finden ist aber
> eine ganz andere Sache und spätestens ab dem Grad 5 (Galoistheorie läßt
> grüßen) (*) nicht mehr so trivial.

Doch das weiß ich natürlich. Aber das Finden bleibt trotzdem trivial.
Die Frage ist hier nur ein möglichst effektives Verfahren zu finden. Und
damit habe ich mich schon mal beschäftigt :-) Nachdem mir aber dann in
d.s.m Verfahren vorgestellt wurden die um Klassen besser waren (und ich
noch nicht mal gesehen habe warum),habe ich diese Kiste erstmal wieder
zugemacht. Um das zu verstehen was dabei abgeht muss ich noch ein wenig
lernen :-((
Nur wie der legendäre Satz sagt: Eine "geschlossene" Formel oder wie Gauss
der vermutlich diesen Beweiss auch schon hatte sagt: Eine Zerlegung in
Radikale geht nicht auf diese Weise.

> Aber vielleicht hast Du das ja auch
> garnicht gemeint, sondern wolltest nur auf die Existenz der Zerlegung
> hinaus. Wie sehen z.b. die Nullstellen von x^5 - x + 1 = 0 aus? :-)
> Ach ja wir reden hier nicht über das numerische Finden von Nullstellen.

Numerisch kann das sehr gemein werden! Aber von der Theorie her ist das
simpel die Nullstellen zu finden :-)
Die Antwort liegt im Beweiss des Fundamentalsatzes!
Vor allem in der geometrischen Form (des Beweises) die ich meine sieht man
sofort wie man suchen muss.

> (*) Falls es Dich interessiert, so findest Du dies unter dem Satz von
> Abel und Ruffini in der Literatur.

Ruffini? Den kenne ich nicht.
Hast Du da einen Link oder kannst Du sagen was der gemacht hat?

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen

--
|
--O O-- Cunning Pike With Plastic Surgery
\-/ (Or American Football Pike)

From:	Torsten Metzner
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Thu, 25 Nov 2004 09:53:39 +0000 (UTC)

Peter Niessen wrote:
>Am Wed, 24 Nov 2004 10:54:58 +0000 (UTC) schrieb Torsten Metzner:
>Doch das weiß ich natürlich. Aber das Finden bleibt trotzdem trivial.
>Die Frage ist hier nur ein möglichst effektives Verfahren zu finden. Und
>damit habe ich mich schon mal beschäftigt :-)

Hi Peter,
aehm, bist Du Dir da sicher? Unten mehr dazu, aber evtl. haben wir in
diesem Kontext des Threads auch eine andere Vorstellung von "finden".

>Nur wie der legendäre Satz sagt: Eine "geschlossene" Formel oder wie Gauss
>der vermutlich diesen Beweiss auch schon hatte sagt: Eine Zerlegung in
>Radikale geht nicht auf diese Weise.
>
>> Aber vielleicht hast Du das ja auch
>> garnicht gemeint, sondern wolltest nur auf die Existenz der Zerlegung
>> hinaus. Wie sehen z.b. die Nullstellen von x^5 - x + 1 = 0 aus? :-)
>> Ach ja wir reden hier nicht über das numerische Finden von Nullstellen.
>
>Numerisch kann das sehr gemein werden!

Das hat man aber im Griff.

>Aber von der Theorie her ist das simpel die Nullstellen zu finden :-)

Nein, m.M. nicht im geringsten. Ich frage mich hier was Du unter
"finden" verstehst. Du wolltest ein Polynom
p(x) = sum(a_i*x^i,i=0..n) mit a_n <> 0
als Produkt seiner Linearfaktoren schreiben. Naja wenn das so trivial
ist, dann schreibe doch bitte p(x) = x^5 - x + 1 in
dieser Form hin. Ich habe bei vielen deiner Antworten der letzten Zeit
einfach das Gefühl, dass Du Schlagworte in den Raum wirst ohne genau zu
wissen was dahinter steht. Aber hier kann ich mich _natürlich_ irren.

>Die Antwort liegt im Beweiss des Fundamentalsatzes!

Die sind in der Form wie ich sie kenne keine konstruktiven Verfahren,
sondern reine Existenzbeweise.

>Vor allem in der geometrischen Form (des Beweises) die ich meine sieht man
>sofort wie man suchen muss.

Kenne ich nicht. Mein Kollege hat mir gerade den Beweis über den
Jordanschen Kurvensatz erklärt. Einen anderen "geometrischen" Beweis
kennt er auch nicht. Naja, aber so konstruktiv wie Du es
gerne hättest, ist der auch nicht. Sprich, die Nullstellen aufschreiben
kannst Du damit auch nicht. Irgendwie ja auch klar, wenn eine
Zerlegung in Radikale nicht immer geht. Also in welcher Form möchtest
Du hier also die Nullstellen finden (angeben)?

>Ruffini? Den kenne ich nicht.
>Hast Du da einen Link oder kannst Du sagen was der gemacht hat?

Such mal mit google nach +Abel +Ruffini +theorem, aber da hättest Du
auch selbst drauf kommen können :-)

Ciao,
ToM

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Thu, 25 Nov 2004 22:36:27 +0100

Am Thu, 25 Nov 2004 09:53:39 +0000 (UTC) schrieb Torsten Metzner:

> Peter Niessen wrote:
>>Am Wed, 24 Nov 2004 10:54:58 +0000 (UTC) schrieb Torsten Metzner:
>>Doch das weiß ich natürlich. Aber das Finden bleibt trotzdem trivial.
>>Die Frage ist hier nur ein möglichst effektives Verfahren zu finden. Und
>>damit habe ich mich schon mal beschäftigt :-)
>
> Hi Peter,
> aehm, bist Du Dir da sicher? Unten mehr dazu, aber evtl. haben wir in
> diesem Kontext des Threads auch eine andere Vorstellung von "finden".
>
>>Nur wie der legendäre Satz sagt: Eine "geschlossene" Formel oder wie Gauss
>>der vermutlich diesen Beweiss auch schon hatte sagt: Eine Zerlegung in
>>Radikale geht nicht auf diese Weise.
>>
>>> Aber vielleicht hast Du das ja auch
>>> garnicht gemeint, sondern wolltest nur auf die Existenz der Zerlegung
>>> hinaus. Wie sehen z.b. die Nullstellen von x^5 - x + 1 = 0 aus? :-)
>>> Ach ja wir reden hier nicht über das numerische Finden von Nullstellen.
>>
>>Numerisch kann das sehr gemein werden!
>
> Das hat man aber im Griff.
>
>>Aber von der Theorie her ist das simpel die Nullstellen zu finden :-)
>
> Nein, m.M. nicht im geringsten. Ich frage mich hier was Du unter
> "finden" verstehst. Du wolltest ein Polynom
> p(x) = sum(a_i*x^i,i=0..n) mit a_n <> 0
> als Produkt seiner Linearfaktoren schreiben. Naja wenn das so trivial
> ist, dann schreibe doch bitte p(x) = x^5 - x + 1 in
> dieser Form hin.

x^5-x+1 roots:
-1.1673
0.76488+0.35247i
0.76488-0.35247i
-0.18123+1.0840i
-0.18123-1.0840i

Ok! Ist nicht sonderlich fair weil mein Mupad kann das ohne meinen Grips
:-)

>Ich habe bei vielen deiner Antworten der letzten Zeit
> einfach das Gefühl, dass Du Schlagworte in den Raum wirst ohne genau zu
> wissen was dahinter steht. Aber hier kann ich mich _natürlich_ irren.
>
>>Die Antwort liegt im Beweiss des Fundamentalsatzes!
>
> Die sind in der Form wie ich sie kenne keine konstruktiven Verfahren,
> sondern reine Existenzbeweise.

Das ist erstmal richtig.

>>Vor allem in der geometrischen Form (des Beweises) die ich meine sieht man
>>sofort wie man suchen muss.
>
> Kenne ich nicht. Mein Kollege hat mir gerade den Beweis über den
> Jordanschen Kurvensatz erklärt. Einen anderen "geometrischen" Beweis
> kennt er auch nicht.

Nun dann kennt er Ihn ab sofort :-)

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen

Vorausetzungen ohne Beweise:
Komplexe Zahlen
Elementare Grenzwertsätze

P^n soll heissen: Ein Polynom Grad n
|P^n| soll heissen: Ein Polynom Grad n und alle Glieder sind Absolutwerte
Alle Argumente und Koeffizienten dürfen selbstredend komplex sein
Zum vermeiden von Tippselarbeit seien alle Koeffzienten = 1 (ändert nix
am Beweiss)
und ich beschränke mich auf ein Polynom Grad 3 (ändert auch nix am
Beweiss)
z ist wie üblich \in C

Es gilt OBdA:
[1] Für hinreichend grosses |z| gilt für das Polynom |P^n|:
Die Ungleichungskette
|z|<|z|^1<|z|^2<|z|^3<|z|^4 ...
Wir nutzen die Indentität:
z=(a+bi)=r*exp(i*phi)=r*(cos(phi)+sin(phi)i)
Wegen Tippselfaulheit: r=1 phi=t
und erklären das ganze als parametrische Funktion:
f(x,y)=(x=cos(t) y=sin(t)) in der Kartesischen Ebene
Also mit
r=Konstant=1 t=(0...2pi)
P^3 =>
f(x)={cos(3t)+cos(2t)+cos(t)+a}
f(y)={sin(3t)+sin(2t)+sin(t)+b} Absolutglied mit (a+bi)
Wir formen die Frage ein wenig um:
Hat z^3+z^2+z=(a+bi) eine Lösung?
Somit haben wir bei scharfen Hinschauen eine ,und das ist wichtig!,
geschlossene Kurve um z=(0,0).
Mit einem Monom wie z^3 gibt das einen Kreis, ansonsten ein recht
merkwürden verschlungene Kurve (Zykloide) um z=(0,0).
Für z^3 bewegt sich ein Punkt von f(x,y) exakt 3mal im kreis usw.
Fragt sich nur ob mit |z|=>inf diese Kurve auch wirklich jeden Punkt
der Ebene erreichen wird.
Das ist nicht selbstverständlich! Gegenbeispiel: "Herzkurve"
Es gilt aber wegen [1]:
Die Kurve ist für hinreichend grosses|z| in einem Kreisring 0um z=(0,0) eingeschlossen!
Und wegen [1] geht für |z|=>inf r_1=>r_2!
Also muss die Kurve jeden Punkt der Ebene erreichen.
Somit ist P^n=0 in der Tat lösbar. QED

Schade das man hier nix zeichnen kann :-((

Und nun nochmal zur Nullstellensuche
Beispiel: x^2+2
Vektor-Brille aufsetzen!
Wir setzen als Startwert (-2, 0i) und erhalten:
(4, +0i) !
Also zeigt der Vektor in eine völlig falsche Richtung! Betrag könnten
wir ja noch korrigieren, aber das bringt offensichtlich garnix :-( Also
müssen wir den Winkel phi ändern. Wohin die Reise geht zeigt Newton ja
freiwillig.
Zum ausprobiern gibt es ja das feine Prog. Fracint :-)

From:	Torsten Metzner
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Fri, 26 Nov 2004 10:26:05 +0000 (UTC)

Peter Niessen wrote:
>Am Thu, 25 Nov 2004 09:53:39 +0000 (UTC) schrieb Torsten Metzner:

Peter Niessen wrote:
>> ist, dann schreibe doch bitte p(x) = x^5 - x + 1 in
>> dieser Form hin.
>
>x^5-x+1 roots:
>-1.1673
>0.76488+0.35247i
>0.76488-0.35247i
>-0.18123+1.0840i
>-0.18123-1.0840i
>
>Ok! Ist nicht sonderlich fair weil mein Mupad kann das ohne meinen
>Grips
>:-)

Rate mal wo ich arbeite, ich bin einer der MuPAD Entwickler. Und
das ist bei weitem nicht nur nicht fair und bei weitem keine korrekte
Zerlegung in Linearfaktoren, sondern lediglich eine numerische Näherung
mit relativ geringer Genauigkeit. Was auch sonst.

>Nun dann kennt er Ihn ab sofort :-)

Auch wenn wir hier jetzt bzgl. dieser Newsgruppe klar OT werden. Das
ist der "geometrische Beweis", den auch ich kenne und der formal auch
den Jordanschen Kurvensatz benutzt. Ich glaube Dir auch, dass Du
anschaulich verstanden hast was passiert, aber ob Du das auch "formal"
verstanden hast, sprich ob Du weißt was die wichtigen Teile des
Beweises sind, da bin ich mir nicht so sicher. Daher noch einige
Kommentare zu deiner "Beweisskizze", vielleicht lernst Du dadurch ja
noch etwas :-) Ach ja dieser Beweis ist aber nicht im geringsten
konstruktiv, was das Auffinden der Nullstellen angeht und das hattest
Du doch vorher erwähnt.

Ich nenne dein P^n mal:
p(z) = *z^n + a_{n-1}*z^(n-1) + a_{n-2}*z^(n-2) + .... + a_0

Das Du dich in der Erkläurung auf n=3 einschränkst und auch noch
andere Einschränkungen machst, macht den Beweis (die wichtigen
Teileschritte) nicht verständlicher, als warum sollte man das daher
tun. Daher lasse ich es weg.

>Es gilt OBdA:
>[1] Für hinreichend grosses |z| gilt für das Polynom |P^n|:
>Die Ungleichungskette
>|z|<|z|^1<|z|^2<|z|^3<|z|^4 ...

Das ist richtig, aber dafür brauchst Du kein hinreichend großes |z|,
sondern Du benötigst für deine Ungleichungskette lediglich |z| > 1.
Das wichtige ist hier folgendes, denn das wird benutzt um zu zeigen,
dass die Kurve |p(z)| innerhalb eines Kreises mit Radius R liegt und
das sie dem Kreisrand beliebig nahe kommt, also der Nullpunkt
innerhalb der Kurve liegt.
(1) lim z->unendlich = | z^n/p(z) | = 1

(2) Wichtig ist hier, wie gesagt, dass der Nullpunkt innerhalb der
Kurve von p(z) liegt.

>Wir nutzen die Indentität:
>z=(a+bi)=r*exp(i*phi)=r*(cos(phi)+sin(phi)i)
>Wegen Tippselfaulheit: r=1 phi=t
>und erklären das ganze als parametrische Funktion:
>f(x,y)=(x=cos(t) y=sin(t)) in der Kartesischen Ebene
>Also mit
>r=Konstant=1 t=(0...2pi)
>P^3 =>
>f(x)={cos(3t)+cos(2t)+cos(t)+a}
>f(y)={sin(3t)+sin(2t)+sin(t)+b} Absolutglied mit (a+bi)

Warum schreibst Du dies hier auf, sprich wo benutzt Du es nachher?
Fall Du damit motivieren willst, dass |z^n| einen Kreis beschreibt OK,
aber das ist doch klar. Nur wenn Du darauf hinaus möchtest und genau
deshalb die vorherigen Betrachtungen machst, dann schreibe das auch
hin, sonst hängt das einfach nutzlos im Raum. Zu wie Du es
aufschreibst erhält man den Eindruck, dass Du eben nicht genau
verstanden hast wozu gewisse Dinge gemacht werden. Zum. ist das mein
Erfahrungswert mit meinen Studenten.

>Somit haben wir bei scharfen Hinschauen eine ,und das ist wichtig!,
>geschlossene Kurve um z=(0,0).

Wohl war, das ist wichtig. |p(z)| beschreibt eine geschlossene Kurve,
sonst habe ich nichts von (2). Dazu brauchen wir dann noch etwas
"Stetigkeit" und der Beweis ist fertig.

>Es gilt aber wegen [1]:
>Die Kurve ist für hinreichend grosses|z| in einem Kreisring 0>um z=(0,0) eingeschlossen!

Das ist richtig, das gilt aber nicht wegen [1], wichtig ist z.B. (2).
Bzw. Du betrachtest eigentlich:

(3) lim z->unendlich = | z^(n+1)/p(z) | = unendlich
und lim z->unendlich = | p(z)/z^(n-1) | = unendlich

und nicht [1] anstelle von (2). Dies geht natürlich auch.

Wie gesagt das Aufschreiben von Beweisskizzen üben wir noch. :-) Ach ja,
nur so am Rande, da ich den Jordanschen Kurvensatz erwähnte. Diesen
benutzt man hier formal um überhaupt von Innerem und Äußerem sprechen
zu können. Das ist anschaulich klar, aber topologisch garnicht so
leicht zu zeigen.

>Wohin die Reise geht zeigt Newton ja freiwillig.

Du redest hier über numerische Verfahren, nicht mehr.
Das dies geht ist klar und unstrittig.

Ciao,
ToM

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Fri, 26 Nov 2004 21:18:50 +0100

Am Fri, 26 Nov 2004 10:26:05 +0000 (UTC) schrieb Torsten Metzner:

> Peter Niessen wrote:
>>Am Thu, 25 Nov 2004 09:53:39 +0000 (UTC) schrieb Torsten Metzner:
>
> Peter Niessen wrote:
>>> ist, dann schreibe doch bitte p(x) = x^5 - x + 1 in
>>> dieser Form hin.
>>
>>x^5-x+1 roots:
>>-1.1673
>>0.76488+0.35247i
>>0.76488-0.35247i
>>-0.18123+1.0840i
>>-0.18123-1.0840i
>>
>>Ok! Ist nicht sonderlich fair weil mein Mupad kann das ohne meinen
>>Grips
>>:-)
>
> Rate mal wo ich arbeite, ich bin einer der MuPAD Entwickler. Und
> das ist bei weitem nicht nur nicht fair und bei weitem keine korrekte
> Zerlegung in Linearfaktoren, sondern lediglich eine numerische Näherung
> mit relativ geringer Genauigkeit. Was auch sonst.

Naja das Aufspalten in Radikale sowie es bis Grad 4 machbar ist, geht nach
dem Satz von Abel i.A. nicht.
Und sonderlich "einfach" sieht das Formelmonster dann normalerweise auch
nicht aus. Das macht nur Sinn wenn die Wurzeln rationale Teiler des
Absolutgliedes sind. Und ein Absolutglied wie oben ist nicht gerade Ans
nach Teilern zu suchen. Vor allem müssten dann die anderen Glieder auch
Faktoren !=1 haben (Vietascher Wurzelsatz).

>>Nun dann kennt er Ihn ab sofort :-)
>
> Auch wenn wir hier jetzt bzgl. dieser Newsgruppe klar OT werden. Das
> ist der "geometrische Beweis", den auch ich kenne und der formal auch
> den Jordanschen Kurvensatz benutzt.

Den benutze ich (genauso wie Gauss) nicht, und das ist von heute aus
betrachtet auch ein Schwachpunkt des Beweises. Ich unterstelle auf C
stillschweigend eine Topologie (die der kartesischen Ebene) ohne sie
ernstlich zu begründen.

[Kommentar SNIP und Danke]

> Wie gesagt das Aufschreiben von Beweisskizzen üben wir noch. :-)

Ok :-) Das obige war auch nur eine auch nur ein erster Entwurf mit der
bitte an d.s.m die Idee mal zu prüfen. Die Beweissidee schien mir einfach
zu simpel. Und auch die ganzen anderen Betrachtungen habe ich mittlerweile
sorgfältiger gemacht. Und das ganze liegt bis auf die Zeichnungen fast
fertig bei mir herum. Den Originalbeweiss habe ich auch noch nie gesehen,
nur den Hinweiss das die Idee wohl von Gauss stammt. (was ein Stöbern in
Seinen Schriften auch nahelegt.

> Ach ja,
> nur so am Rande, da ich den Jordanschen Kurvensatz erwähnte. Diesen
> benutzt man hier formal um überhaupt von Innerem und Äußerem sprechen
> zu können. Das ist anschaulich klar, aber topologisch garnicht so
> leicht zu zeigen.

Klar der Jordansatz gehört zu der Klasse von Sätzen: "Na logisch, sieht man
doch sofort!" Aber wehe man versucht ihn zu beweisen. Aber in Topologie bin
ich noch arger Neuling. Mathe ist nur mein Hobby.

>>Wohin die Reise geht zeigt Newton ja freiwillig.
>
> Du redest hier über numerische Verfahren, nicht mehr.
> Das dies geht ist klar und unstrittig.

Ob es ein in Deinem Sinn wirklich konstruktives Verfahren gibt?
Aber der Beweiss legt nahe das Newton für fast alle Punkte auf der
Kreisscheibe konvergiert.

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen

--
|
-O_q- Cunning Pike With Monacle

From:	Torsten Metzner
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Mon, 29 Nov 2004 12:49:45 +0000 (UTC)

Peter Niessen wrote:
>Am Fri, 26 Nov 2004 10:26:05 +0000 (UTC) schrieb Torsten Metzner:
>Naja das Aufspalten in Radikale sowie es bis Grad 4 machbar ist, geht nach
>dem Satz von Abel i.A. nicht.
>Und sonderlich "einfach" sieht das Formelmonster dann normalerweise auch
>nicht aus.

Yepp, habe ich auch nie behauptet. Sprich schon bei Gleichungen 3.
Grades kann man einer numerischen Näherung auf den ersten (und zweiten
....) Blick häufig mehr Informationen entnehmen.

>Das macht nur Sinn wenn die Wurzeln rationale Teiler des
>Absolutgliedes sind.

Das meinst Du jetzt aber nicht so, oder?
Betrachte (x-sqrt(2))^4. Die Nullstellen sind sicherlich keine
rationalen Teiler von 4. :-)

>Und ein Absolutglied wie oben ist nicht gerade Ans
>nach Teilern zu suchen.

Zum. nicht nach rationalen die ungleich 1 oder -1 sind.

>Ob es ein in Deinem Sinn wirklich konstruktives Verfahren gibt?

Ich habe das schließlich auch nie behauptet. Du hast behauptet, dass das
geometrische Verfahren sehr schön zeigt wie man die Nullstellen findet.
Das ist aber nicht der Fall, es ist ein reiner Existenzbeweis. Schau ihn
Dir noch einmal an. Durch Grenzwertbetrachtungen erhälst Du die Existenz
der benötigten Kreislinien in denen die geschlossene Kurve deines
Polynoms liegt. Wie man die Nullstellen findet, geht daraus erst einmal
überhaupt nicht hervor.

Ach ja ich habe hier eigentlich auch nur etwas gesagt, da Du
meintest man könnte die Zerlegung in Linearfaktoren leicht hinschreiben
und dem habe ich widersprochen, denn es stimmt einfach nicht. Nicht das
der Schüler hier noch den Eindruck bekommt, dies geht wirklich ganz
leicht. Das es numerische Verfahren gibt, die die Nullstellen beliebig
genau bestimmen können ist etwas anderes.

Ciao,
ToM

From:	Torsten Metzner
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Fri, 26 Nov 2004 12:12:50 +0000 (UTC)

Torsten Metzner wrote:
> (1) lim z->unendlich = | z^n/p(z) | = 1
>
>(2) Wichtig ist hier, wie gesagt, dass der Nullpunkt innerhalb der
>Kurve von p(z) liegt.
>Das ist richtig, das gilt aber nicht wegen [1], wichtig ist z.B. (2).
^^^^^
Uuups, muss natürlich (1) heißen.

>und nicht [1] anstelle von (2).
^^^^^
Uuups, muss natürlich (1) heißen.
Aber ich hoffe das war eh klar.

Ciao,
ToM

From:	Simon Steinberger
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Tue, 23 Nov 2004 23:24:57 +0100

"Peter Niessen" schrieb
> Am Tue, 23 Nov 2004 17:40:03 +0100 schrieb Simon Steinberger:
>
> > Das richtige Ergebnis haben wir ja.
>
> Du hast in meinen Augen ja auch Recht!
> Einfach => So kurz (simpel) wie möglich aufschreiben.
> Trivial => In Linearfaktoren zerlegen
> Wobei das Zerlegen ohne Kenntnis der komplexen Zahlen
> überhaupt nicht trivial ist. Keine Ahnung ob Du das schon kannst.

Polynomdivision? Oder was meinst du?
Sprich dich ruhig aus, du greifst dem Stoff nicht vor. :-)

denn eigentlich bin ich schon lange
aus der Schule raus und versuch mir langsam, aber
gründlich die Analysis, was man in der Schule im LK
bis zum Abitur macht, selber bei zubringen, bzw.
gelerntes Wissen zu vervollständigen.
Mathe war in der Schule immer mein bestes Fach
und hat mir immer viel Spaß gemacht.
Leider habe ich kein Abi sondern bin vorher ab.
Ich "Held" :-/

Ich poste in schule.mathe, da was ich zu fragen habe
erstens zu einfach ist für dsm und
zum zweiten ich der Meinung bin, dass hier lesende
Schüler etwas lernen können. (siehe sig)
Denn es ist wichtig zu wissen was und warum man
etwas lernt; nicht nur es zu können.

Gruß
Simon

--
Es gibt keine dummen Fragen - nur dumme Antworten!

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Wed, 24 Nov 2004 00:18:51 +0100

Am Tue, 23 Nov 2004 23:24:57 +0100 schrieb Simon Steinberger:

> "Peter Niessen" schrieb

>> Am Tue, 23 Nov 2004 17:40:03 +0100 schrieb Simon Steinberger:
>> denn eigentlich bin ich schon lange
>> aus der Schule raus und versuch mir langsam, aber
>> gründlich die Analysis, was man in der Schule im LK
>> bis zum Abitur macht, selber bei zubringen, bzw.
>> gelerntes Wissen zu vervollständigen.

Ja wenn das so ist:
Sage das doch sofort!

> Polynomdivision? Oder was meinst du?
> Sprich dich ruhig aus, du greifst dem Stoff nicht vor. :-)

Nee Polynomdivision weniger (gehört aber dazu)
Spannend ist dann die Frage gibt es zu jedem Polynom ein "Polynom" der
Form: (ax+b) daß das Polynom ohne Rest teilt? Genau das ist der
Fundamentalsatz der Algebra. Und der ist fieslich wichtig für fast alles!
Ohne diesen Satz würde man schon an simpelsten Integralen scheitern, eben
weil gebrochen rationale Funktionen sowas erfordern.
Witzig ist das die meisten den Beweiss des Satzes für furchtbar kompliziert
halten, obwohl er so simpel ist das er locker zum ABI-Stoff passt.
Auf Wunsch mache ich das vor. Der Beweiss beruht auf einer Idee von Gauss
und Weyl.

> Leider habe ich kein Abi sondern bin vorher ab.
> Ich "Held" :-/

Geht andern auch so, ist kein Makel!
Ich bin vom Chemiker zum Werzeugmacher mutiert :-)

> Ich poste in schule.mathe, da was ich zu fragen habe
> erstens zu einfach ist für dsm und
> zum zweiten ich der Meinung bin, dass hier lesende
> Schüler etwas lernen können. (siehe sig)
> Denn es ist wichtig zu wissen was und warum man
> etwas lernt; nicht nur es zu können.

Das finde ich gut!

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
--
____ "So blieb ihr nichts übrig, als Prinz Fröhlich ____
|-@-@| mit den hässlichen Zähnen zu heiraten - |o|o |
X| _|_|X hätte sie mal lieber einen X|_|_ |X
|__#_| Wäschetrockner genommen." MIST |_|__|

From:	Simon Steinberger
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Wed, 24 Nov 2004 19:15:43 +0100

"Peter Niessen" schrieb
> Auf Wunsch mache ich das vor. Der Beweiss beruht
> auf einer Idee von Gauss und Weyl.
>
Danke für's Angebot, aber ich glaube, soweit bin ich
im Moment dann doch noch nicht.

>> Leider habe ich kein Abi sondern bin vorher ab.
>> Ich "Held" :-/
>
> Geht andern auch so, ist kein Makel!
> Ich bin vom Chemiker zum Werzeugmacher mutiert :-)
>
Mmm, Chemie hab ich auch gerne gemacht, nur mit
dem Rechnen in der Chemie hab ich mir im Gegensatz
zum Fach Mathe komischerweise immer sehr schwer
getan.

> > Denn es ist wichtig zu wissen was und warum man
> > etwas lernt; nicht nur es zu können.
>
> Das finde ich gut!
>
Freut mich!

Ja nur leider hat man am Gymnasium genau dafür
am wenigsten Zeit im Unterricht: Um zu verstehen
warum man, das was man tut, um das gewünschte
Ergebnis zu erhalten, eigentlich genau so zu machen
hat, wie man es beigebracht bekommt.
Man lernt Schema, Antworten, Definitionen.
Und manche meiner ehemaligen gymnasialen Mitschüler,
hatten die Definitionen, die sie ja fleißig auswendig gelernt
hatten, um sie eifrig herunterbeten zu können, gar nicht
erst verstanden. - Na da stellt sich dann Lernerfolg ein. ;-(

Ich finde man sollte in der Schule lernen, wie man selbst
etwas lernen kann und sich eigenständig Wissen - vor allem
das Wissen, das einem am meisten interessiert - aneignet,
und nicht wie nman bloß das zu lernen vermag, was einem
der Lehrer laut Lehrplan beibringen soll
Das gilt erst recht am Gymnasium.

Und dabei
| ... liegt im Entdecken dessen, was am Falschen das
| Unrichtige ausmacht, doch soviel Erkenntnis für das
| eigene Handeln.
| Es ist der Schlüssel zum Verstehen dessen, was am
| Richtigen das ist, weshalb es dazu führt, was man zu
| erreichen sucht.

Huch, das war jetz' aber philosophisch. ;-)
Im Schach, was ich auch gerne und fast täglich spiele,
lernt man genau so am besten.

| Man muss die Fehler nutzen und sie nicht nur
| beim Falschsein belassen.
| Nur wer eigene Fehler erkennt,
| ist bereit, sie kein zweites Mal zu begehen.

Dafür benötigt man nun aber auch die Zeit, um darüber
nachzudenken. Und die hat man oftmals leider nicht.

Nun gut, eigentlich legte den Grundstein zu dieser
Erkenntnis mein Mathelehrer der 10. Klasse Realschule,
der auf das Aufgabenblatt jeder Klassenarbeit immer
einen zum Nachdenken anregenden Spruch von einem
berühmten Mathematiker oder Philosophen schrieb.
Und nach der 10. Kl. Realschule wechselte ich dank
meiner fabelhaften Noten ans Gymnasium - und alles
wurde anders, schlechter, viel schlechter. :-(

Gruß
Simon

Ich glaub, jetzt wird's ein bisschen zu philosophisch und OT.

--
"Wer ihn kannte, liebte ihn und wer ihn liebte, der kannte ihn auch.
Alle die ihn kannten, liebten ihn und die, die ihn nicht kannten,
verehrten ihn ... aus der Ferne."
(StarTrek, Lt. Cmdr. Data in 'Das fremde Gedächtnis')

From:	Christian Kortes
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	23 Nov 2004 12:49:37 GMT

Peter Niessen wrote:
> Multiplizere den ganzen Kram mal aus!
> Was macht das? Ein Polynom!
> Und genau das kannst Du als Produkt(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)(x+e)...
> (Das sind Linearfaktoren!)schreiben!
> Nennt sich Fundamentalsatz der Algebra. Heisst das geht immer!

Aber nur im Komplexen.

From:	Torsten Metzner
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Wed, 24 Nov 2004 10:40:38 +0000 (UTC)

Christian Kortes wrote:
>Peter Niessen wrote:
>> Multiplizere den ganzen Kram mal aus!
>> Was macht das? Ein Polynom!
>> Und genau das kannst Du als Produkt(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)(x+e)...
>> (Das sind Linearfaktoren!)schreiben!
>> Nennt sich Fundamentalsatz der Algebra. Heisst das geht immer!
>
>Aber nur im Komplexen.

Und nur wenn das Polynom normiert ist (*), das war es hier auch nicht :-)
Wenn Peter schon pingelig ist, dann bitte auch richtig.

(*) Ich beziehe mich hier auf die von Peter oben angegebene Form

Ciao,
ToM

--

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Wed, 24 Nov 2004 21:40:48 +0100

Am Wed, 24 Nov 2004 10:40:38 +0000 (UTC) schrieb Torsten Metzner:

> Christian Kortes wrote:
>>Peter Niessen wrote:
>>> Multiplizere den ganzen Kram mal aus!
>>> Was macht das? Ein Polynom!
>>> Und genau das kannst Du als Produkt(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)(x+e)...
>>> (Das sind Linearfaktoren!)schreiben!
>>> Nennt sich Fundamentalsatz der Algebra. Heisst das geht immer!
>>
>>Aber nur im Komplexen.
>
> Und nur wenn das Polynom normiert ist (*), das war es hier auch nicht :-)
> Wenn Peter schon pingelig ist, dann bitte auch richtig.
>
> (*) Ich beziehe mich hier auf die von Peter oben angegebene Form

Was meinst Du mit normiert? Ausheben der Faktoren von x?
Gebe ja zu das obiges etwas schlampig notiert ist.
Aber da ich das (und anderes) in voller Schönheit (und Exaktheit) auf
meinem Festplätti habe, was wäre mit einer FAQ für diese Gruppe?

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen

--
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-O_O-?
| Shepherd's Pike

From:	Torsten Metzner
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Thu, 25 Nov 2004 09:03:28 +0000 (UTC)

Peter Niessen wrote:
>Am Wed, 24 Nov 2004 10:40:38 +0000 (UTC) schrieb Torsten Metzner:
>
>> Christian Kortes wrote:
>>>Peter Niessen wrote:
>>>> Multiplizere den ganzen Kram mal aus!
>>>> Was macht das? Ein Polynom!
>>>> Und genau das kannst Du als Produkt(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)(x+e)...
>>>> (Das sind Linearfaktoren!)schreiben!
>>>> Nennt sich Fundamentalsatz der Algebra. Heisst das geht immer!
>>>
>>>Aber nur im Komplexen.
>>
>> Und nur wenn das Polynom normiert ist (*), das war es hier auch nicht :-)
>> Wenn Peter schon pingelig ist, dann bitte auch richtig.
>>
>> (*) Ich beziehe mich hier auf die von Peter oben angegebene Form
>
>Was meinst Du mit normiert?

Ein Polynom ist normiert, wenn der Leitkoeffizient 1 ist, d.h.:
Sei p(x) = sum(a_i*x^i,i=0..n) mit a_n <> 0, so ist a_n der
Leitkoeffizient.

Das hätte man sich aber auch aus dem Kontext heraus denken können,
außerdem findet man es eicht mit google.

Ciao,
ToM

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Wie vereinfachen?
Date:	Thu, 25 Nov 2004 22:03:12 +0100

Am Thu, 25 Nov 2004 09:03:28 +0000 (UTC) schrieb Torsten Metzner:

>>Was meinst Du mit normiert?
>
> Ein Polynom ist normiert, wenn der Leitkoeffizient 1 ist, d.h.:
> Sei p(x) = sum(a_i*x^i,i=0..n) mit a_n <> 0, so ist a_n der
> Leitkoeffizient.
>
> Das hätte man sich aber auch aus dem Kontext heraus denken können,
> außerdem findet man es eicht mit google.

OK ich kenne das als Normalform, und da Mathematiker pingelig sind lohnt
die Nachfrage.

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
--
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X| _|_|X "Ich kann kein /-. ,, .-: /
|__|_| Knäckisch!" /_:`_vwwv_._/