Hallo,
ich scheitere beim Versuch, ein Dreieck ABC aus zwei gegebenen
Seitenlängen (meinetwegen a=8LE und b=9LE) und gegebenem Inkreisradius
(r=3LE) zu KONSTRUIEREN. Ich suche nicht nach einem Rechenweg. Wer kann
helfen ?
mfg Ulrich Neugebauer

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Dreieckskonstruktion
Date:	Wed, 8 Dec 2004 22:09:28 +0100

Am Wed, 08 Dec 2004 17:44:57 +0100 schrieb Ulrich Neugebauer:

> Hallo,
> ich scheitere beim Versuch, ein Dreieck ABC aus zwei gegebenen
> Seitenlängen (meinetwegen a=8LE und b=9LE) und gegebenem Inkreisradius
> (r=3LE) zu KONSTRUIEREN. Ich suche nicht nach einem Rechenweg. Wer kann
> helfen ?
> mfg Ulrich Neugebauer

Hallo Ulrich!
Abgesehen von "Brute Force" (was natürlich geht) fällt mir da spontan
nichts ein. Ein hübsches Problem!
Wäre es der Umkreis:
Kein Problem :-)
Aber ich werde noch ein wenig grübeln. Das muss doch mit ZUL (Zirkel und
Lineal) lösbar sein.

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
--
_|||_
--O_O-- Cunning Pike With Hat

From:	Ulrich Neugebauer
Subject:	Re: Dreieckskonstruktion
Date:	Thu, 09 Dec 2004 06:48:36 +0100

Peter Niessen wrote:

>>ich scheitere beim Versuch, ein Dreieck ABC aus zwei gegebenen
>>Seitenlängen (meinetwegen a=8LE und b=9LE) und gegebenem Inkreisradius
>>(r=3LE) zu KONSTRUIEREN. Ich suche nicht nach einem Rechenweg. Wer kann
>>helfen ?

> Abgesehen von "Brute Force" (was natürlich geht) fällt mir da spontan
> nichts ein. Ein hübsches Problem!
> Wäre es der Umkreis:
> Kein Problem :-)
> Aber ich werde noch ein wenig grübeln. Das muss doch mit ZUL (Zirkel und
> Lineal) lösbar sein.
>
Hallo Peter,
danke zunächst fürs Mitprobieren; übrigens stellt sich ein ähnliches
Problem beim Konstruieren eines Dreiecks aus Umkreisradius und zwei
Winkeln. Bisher bin ich immer von dem Grundsatz ausgegangen, dass alles,
was rechnerisch lösbar ist (an Dreieckskonstruktion), auch zeichnerisch
machbar sein sollte. Ein Irrtum ?
mfg Ulrich

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Dreieckskonstruktion
Date:	Thu, 9 Dec 2004 11:21:12 +0100

Am Thu, 09 Dec 2004 06:48:36 +0100 schrieb Ulrich Neugebauer:

> Peter Niessen wrote:
>
>>>ich scheitere beim Versuch, ein Dreieck ABC aus zwei gegebenen
>>>Seitenlängen (meinetwegen a=8LE und b=9LE) und gegebenem Inkreisradius
>>>(r=3LE) zu KONSTRUIEREN. Ich suche nicht nach einem Rechenweg. Wer kann
>>>helfen ?
>
>> Abgesehen von "Brute Force" (was natürlich geht) fällt mir da spontan
>> nichts ein. Ein hübsches Problem!
>> Wäre es der Umkreis:
>> Kein Problem :-)
>> Aber ich werde noch ein wenig grübeln. Das muss doch mit ZUL (Zirkel und
>> Lineal) lösbar sein.
>>
> Hallo Peter,
> danke zunächst fürs Mitprobieren; übrigens stellt sich ein ähnliches
> Problem beim Konstruieren eines Dreiecks aus Umkreisradius und zwei
> Winkeln. Bisher bin ich immer von dem Grundsatz ausgegangen, dass alles,
> was rechnerisch lösbar ist (an Dreieckskonstruktion), auch zeichnerisch
> machbar sein sollte. Ein Irrtum ?
> mfg Ulrich

Da wäre ich vorsichtig.
Grundsätzlich gilt:
Alle Gleichungssysteme die auf ein algebraisches System maximal 2. Grades
herauslaufen, sind ZUL-Lösbar. Systeme höheren Grades oder gar Terme mit
irrationalen (transzendenten) Ausdrücken im Allgemeinen nicht.
Schon eine Winkeldreiteilung ist iA unmöglich.

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen

--
|
- -_- - Cunning Pike Sleeping

From:	Thomas Mautsch
Subject:	Re: Dreieckskonstruktion
Date:	9 Dec 2004 15:38:23 +0100

In news:<1mjbtqelmstta.1b4pl7w1faguk$.dlg@40tude.net> schrieb Peter Niessen:
> Am Thu, 09 Dec 2004 06:48:36 +0100 schrieb Ulrich Neugebauer:
>> Peter Niessen wrote:
>>
>>>>ich scheitere beim Versuch, ein Dreieck ABC aus zwei gegebenen
>>>>Seitenlängen (meinetwegen a=8LE und b=9LE) und gegebenem Inkreisradius
>>>>(r=3LE) zu KONSTRUIEREN. Ich suche nicht nach einem Rechenweg. Wer kann
>>>>helfen ?
[ ... ]
>>> Aber ich werde noch ein wenig grübeln. Das muss doch mit ZUL (Zirkel und
>>> Lineal) lösbar sein.
>>>
>> danke zunächst fürs Mitprobieren; übrigens stellt sich ein ähnliches
>> Problem beim Konstruieren eines Dreiecks aus Umkreisradius und zwei
>> Winkeln. Bisher bin ich immer von dem Grundsatz ausgegangen, dass alles,
>> was rechnerisch lösbar ist (an Dreieckskonstruktion), auch zeichnerisch
>> machbar sein sollte. Ein Irrtum ?
>> mfg Ulrich
>
> Da wäre ich vorsichtig.
> Grundsätzlich gilt:
> Alle Gleichungssysteme die auf ein algebraisches System maximal 2. Grades
> herauslaufen, sind ZUL-Lösbar. Systeme höheren Grades oder gar Terme mit
> irrationalen (transzendenten) Ausdrücken im Allgemeinen nicht.
> Schon eine Winkeldreiteilung ist iA unmöglich.

Ulrichs Problem scheint nicht loesbar zu sein,
wenn ich John Conways Aussage in

http://groups.google.de/groups?selm=Pine.LNX.4.21.0007031407330.28382-100000%40Cocoa.Princeton.EDU

korrekt deute: Die Gleichung fuer c waere

4rr(a+b+c) = -ccc + (a+b)cc + (b-a)^2.c - (bb-aa)(b-a),

also kubisch mit rationalen Koeffizienten (a=8, b=9, r=3),
besitzt aber keine rationalen Loesungen, muss deshalb irreduzibel sein
und ist somit nicht mit Zirkel und Lineal "loesbar".

From:	Ulrich Neugebauer
Subject:	Re: Dreieckskonstruktion
Date:	Thu, 09 Dec 2004 16:04:05 +0100

>
> Ulrichs Problem scheint nicht loesbar zu sein,
> wenn ich John Conways Aussage in
>
> http://groups.google.de/groups?selm=Pine.LNX.4.21.0007031407330.28382-100000%40Cocoa.Princeton.EDU
>
> korrekt deute: Die Gleichung fuer c waere
>
> 4rr(a+b+c) = -ccc + (a+b)cc + (b-a)^2.c - (bb-aa)(b-a),
>
> also kubisch mit rationalen Koeffizienten (a=8, b=9, r=3),
> besitzt aber keine rationalen Loesungen, muss deshalb irreduzibel sein
> und ist somit nicht mit Zirkel und Lineal "loesbar".
>

Kann man von der Nicht- /Existenz rationaler Lösungen wirklich auf die
Konstruierbarkeit schließen ? Im Falle dreier gegebener Dreieckseiten
ermittle ich dir Länge des Inkreisradius _konstruktiv_ ohne Probleme !
mfg Ulrich

From:	Thomas Mautsch
Subject:	Re: Dreieckskonstruktion
Date:	9 Dec 2004 16:34:48 +0100

In news: schrieb Ulrich Neugebauer:
>> Ulrichs Problem scheint nicht loesbar zu sein,
>> wenn ich John Conways Aussage in
>>
>> http://groups.google.de/groups?selm=Pine.LNX.4.21.0007031407330.28382-100000%40Cocoa.Princeton.EDU
>>
>> korrekt deute: Die Gleichung fuer c waere
>>
>> 4rr(a+b+c) = -ccc + (a+b)cc + (b-a)^2.c - (bb-aa)(b-a),
>>
>> also kubisch mit rationalen Koeffizienten (a=8, b=9, r=3),
>> besitzt aber keine rationalen Loesungen, muss deshalb irreduzibel sein
>> und ist somit nicht mit Zirkel und Lineal "loesbar".
>>
>
> Kann man von der Nicht- /Existenz rationaler Lösungen wirklich auf die
> Konstruierbarkeit schließen ? Im Falle dreier gegebener Dreieckseiten
> ermittle ich dir Länge des Inkreisradius _konstruktiv_ ohne Probleme !

Das ja, aber der Inkreisradius ist auch die
Loesung eines *quadratischen* Polynoms mit Koeffizienten,
die rationale Kombinationen der Seiten sind.
Hier jedoch geht es darum, die Wurzel eines *kubischen* Polynoms
mit rationalen Koeffizienten
allein mit Zirkel und Lineal und einer Strecke der Laenge 1 auszufuehren,
und das geht nur dann, wenn die Wurzel selbst eine rationale Zahl ist.

Der Grund dafuer liegt eigentlich darin,
dass die Loesungsformel kubischer Polynome Kubikwurzeln enthalten
und dass diese nur dann aus rationalen Groessen konstruierbar sind,
wenn ihr Wert selbst eine rationale Zahl ist.
Wenn aber die Kubikwurzeln in Cardanos Loesungsformel rational sind,
ist auch das Endergebnis rational. - Voila!

Dieses Argument laesst sich uebrigens auch direkt
auf das Problem der Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal anwenden.

From:	Peter Niessen
Subject:	Re: Dreieckskonstruktion
Date:	Thu, 9 Dec 2004 21:39:31 +0100

Am 9 Dec 2004 15:38:23 +0100 schrieb Thomas Mautsch:

> In news:<1mjbtqelmstta.1b4pl7w1faguk$.dlg@40tude.net> schrieb Peter Niessen:

>> Da wäre ich vorsichtig.
>> Grundsätzlich gilt:
>> Alle Gleichungssysteme die auf ein algebraisches System maximal 2. Grades
>> herauslaufen, sind ZUL-Lösbar. Systeme höheren Grades oder gar Terme mit
>> irrationalen (transzendenten) Ausdrücken im Allgemeinen nicht.
>> Schon eine Winkeldreiteilung ist iA unmöglich.
>
> Ulrichs Problem scheint nicht loesbar zu sein,
> wenn ich John Conways Aussage in
>
> http://groups.google.de/groups?selm=Pine.LNX.4.21.0007031407330.28382-100000%40Cocoa.Princeton.EDU
>
> korrekt deute: Die Gleichung fuer c waere
>
> 4rr(a+b+c) = -ccc + (a+b)cc + (b-a)^2.c - (bb-aa)(b-a),
>
> also kubisch mit rationalen Koeffizienten (a=8, b=9, r=3),
> besitzt aber keine rationalen Loesungen, muss deshalb irreduzibel sein
> und ist somit nicht mit Zirkel und Lineal "loesbar".

Frust!
Und ich grübel zwei Tage :-)
Den Rest glaube ich dir einfach mal.

Danke für die Antwort!
Aber gibt es ein Verfahren zu sagen: Das geht nicht mit ZUL!
Irgendwie verlasse ich mich da immer auf meine Intuition.

Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
--
!
! !
! |
-(O_O)- ! Cunning Pike Juggling

From:	Thomas Mautsch
Subject:	Re: Dreieckskonstruktion
Date:	9 Dec 2004 16:03:21 +0100

In news: schrieb Ulrich Neugebauer:
>>>ich scheitere beim Versuch, ein Dreieck ABC aus zwei gegebenen
>>>Seitenlängen (meinetwegen a=8LE und b=9LE) und gegebenem Inkreisradius
>>>(r=3LE) zu KONSTRUIEREN. Ich suche nicht nach einem Rechenweg. Wer kann
>>>helfen ?
[ ... ]
>> Aber ich werde noch ein wenig grübeln. Das muss doch mit ZUL (Zirkel und
>> Lineal) lösbar sein.
Das ist im Allgemeinen nicht moeglich
(Irreduzible Gleichung 3. Grades...).
[ ... ]
> danke zunächst fürs Mitprobieren; übrigens stellt sich ein ähnliches
> Problem beim Konstruieren eines Dreiecks aus Umkreisradius und zwei
> Winkeln.
Aber das ist doch extrem einfach,
weil Du alle Zentriwinkel des Dreiecks kennst!

From:	Ulrich Neugebauer
Subject:	Re: Dreieckskonstruktion
Date:	Fri, 10 Dec 2004 16:18:18 +0100

Thomas Mautsch wrote:

>>danke zunächst fürs Mitprobieren; übrigens stellt sich ein ähnliches
>>Problem beim Konstruieren eines Dreiecks aus Umkreisradius und zwei
>>Winkeln.
>
> Aber das ist doch extrem einfach,
> weil Du alle Zentriwinkel des Dreiecks kennst!

stimmt ! Manchmal steht man mit beiden Füßen auf der Leitung !
mfg Ulrich

From:	Friedrich Hattendorf
Subject:	Re: Dreieckskonstruktion
Date:	Sat, 11 Dec 2004 08:48:42 +0100

Ulrich Neugebauer wrote:

> Hallo,
> ich scheitere beim Versuch, ein Dreieck ABC aus zwei gegebenen
> Seitenlängen (meinetwegen a=8LE und b=9LE) und gegebenem Inkreisradius
> (r=3LE) zu KONSTRUIEREN. Ich suche nicht nach einem Rechenweg. Wer kann
> helfen ?
> mfg Ulrich Neugebauer

Bei solchen Aufgaben lohnt es sich immer im Herterich nachzusehen.

(Kurt Herterich: Die Konstruktion von Dreiecken,1961/65 bei Klett in zwei
Bänden erschienen; ich habe einen Nachdruck in einem Band von 1986; taucht
ab und zu im Antiquariat - www.findmybook.de -auf )

Er ordnet sie unter unlösbar ein.
Dies wird zwar nicht bewiesen, ich habe aber noch nie erlebt, dass eine
solche Aussage falsch ist. Für die Lösbaren wird eine Konstruktion
angegeben.

mfg
F.Hattendorf