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 | | From: | RSP | | Subject: | Arithmetische Zahlenfolgen | | Date: | Tue, 18 Jan 2005 08:58:17 +0100 |
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 | Hallo, ich brauche für die Schule die 'Summenformel für Arithmetische
Zahlenfolgen'
Vorlage zum rausfinden war folgendes Beispiel
1 2 3 4 5
+100 99 98 97 96
=101 101 101 101 101 .........
S=?
Sollte ja eigentlich irgendwo stehen, habe sie aber leider nicht gefunden.
Vielen Dank
Peter
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| | From: | Karl Pech | | Subject: | Re: Arithmetische Zahlenfolgen | | Date: | Tue, 18 Jan 2005 21:55:48 +0100 |
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| Hi,
"RSP" <7201@gmx.de> schrieb im Newsbeitrag news:csifiq$54k$1@news.mch.sbs.de...
> Hallo, ich brauche für die Schule die 'Summenformel für Arithmetische
> Zahlenfolgen'
>
> Vorlage zum rausfinden war folgendes Beispiel
>
> 1 2 3 4 5
> +100 99 98 97 96
> =101 101 101 101 101 .........
Du nimmst die Summe 1 + 2 + 3+...+100 und addierst nochmal
die gleiche Summe hinzu, also 2(1 + 2 + 3+...+100).
Nun stellt du (wie Gauss damals) das fest, was du oben geschrieben
hast. Offenbar entsteht durch deine Addition folgende neue
Summe: 101 + 101 + 101+...+101. Diese Summe hat die gleiche Anzahl
von Summanden wie deine ursprüngliche Summe, welche du mit 2 multipliziert
hast. Damit ist 101 + 101+...+101 = 100*101.
Also gilt: 2(1 + 2 + 3+...+100) = 100*101.
Andere Möglichkeit:
Betrachte das Polynom f(x) = ax^2+bx+c. Stell' dir nun vor, du addierst bis
0. Per Definition findet dann quasi keine Addition statt. Sei nun f(0) := c = 0.
Stell' dir weiterhin vor, du addierst bis 1. Also 0+1 = 1. Sei nun f(1) := a+b = 1.
Am Schluß willst du noch bis 2 addieren: 0+1+2 = 3. Wir definieren f(2) := 4a+2b = 3
Dieses Gleichungssystem ist lösbar:
4a + 4b = 4
4a + 2b = 3
=> 2b = 1 <=> b = 1/2 => 4a + 1 = 3 <=> a = 1/2
=> f(x) = x^2/2+x/2 = (x^2 + x)/2 = x(x+1)/2
Es gilt: 2*f(100) = 100*101. Kommt dir da 'was bekannt vor?
Auf die selbe Weise kannst du auch andere Summenformeln z.B. für
1 + 4 + 9 +...+n^2 herleiten. Der Grad des Polynoms muß allerdings
immer um 1 höher sein als der Exponent des höchsten Summanden deiner Summe.
(Jedenfalls war das immer so, als ich es ausprobiert habe.)
Viele Grüße
Karl
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| | From: | Peter Niessen | | Subject: | Re: Arithmetische Zahlenfolgen | | Date: | Tue, 18 Jan 2005 11:24:05 +0100 |
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| Am Tue, 18 Jan 2005 08:58:17 +0100 schrieb RSP:
> Hallo, ich brauche für die Schule die 'Summenformel für Arithmetische
> Zahlenfolgen'
>
> Vorlage zum rausfinden war folgendes Beispiel
>
> 1 2 3 4 5
> +100 99 98 97 96
> =101 101 101 101 101 .........
>
> S=?
>
> Sollte ja eigentlich irgendwo stehen, habe sie aber leider nicht gefunden.
Wo ist das Problem?
Scharf hingucken und die Formel ist fertig!
Die Arbeit ist doch schon gemacht. Ansonsten kleiner Tipp:
Gauss soll das schon als 10-jähriger Schüler gelöst haben und zwar auf
genau dem obigen Weg.
Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
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--/O_O\-- Tunnel In Cunning (Though Bloated) Pike
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